8. Примените формулу \(s = v_0t + \frac{at^2}{2}\) к движению с постоянным ускорением и получите формулу \(s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t\).

Для равноускоренного движения справедливо: \(v = v_0 + at\). Отсюда выразим ускорение:

\[a = \frac{v - v_0}{t}.\]

Подставим это выражение в формулу пути:

\[s = v_0t + \frac{at^2}{2}.\]

Получаем:

\[s = v_0t + \frac{v - v_0}{t} \cdot \frac{t^2}{2}.\]

Сократим на \(t\):

\[s = v_0t + \frac{(v - v_0)t}{2}.\]

Приведём к общему знаменателю:

\[s = \frac{2v_0t + vt - v_0t}{2} = \frac{(v_0 + v)t}{2}.\]

Следовательно,

\[s = \frac{v_0 + v}{2} \cdot t.\]