8. Прямая а пересекает плоскость β в точке C, и образует с плоскостью угол 30°, A ∈ a, точка B - основание перпендикуляра, опущенного на плоскость из точки A. AB=10, найдите AC.

Решение:

По условию, \( \angle BAC = 30^{\circ} \) — это угол между прямой \( a \) и плоскостью \( \beta \).

\( AB \) — перпендикуляр к плоскости \( \beta \), поэтому \( AB \) перпендикулярна любой прямой в плоскости, проходящей через точку \( B \).

Треугольник \( \triangle ABC \) является прямоугольным, так как \( \angle ABC = 90^{\circ} \) (поскольку \( AB \) — перпендикуляр).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \):

\( \sin(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} \).

Нам известно \( \angle BAC = 30^{\circ} \) и \( AB = 10 \). Подставим эти значения:

\( \sin(30^{\circ}) = \frac{10}{AC} \).

Так как \( \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \), получим:

\( \frac{1}{2} = \frac{10}{AC} \).

Отсюда \( AC = 10 \times 2 = 20 \).

Ответ: 20