№8. Прямая проходит через середину диагонали AC параллелограмма ABCD и пересекает стороны BC и AD в точках M и K соответственно. Докажите, что четырёхугольник AMCK — параллелограмм.

Обозначим середину диагонали AC через O. Прямая через O параллельна сторонам BC и AD, поэтому OM и OK лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники AOK и COM. Так как AK ∥ CM, AO и CO лежат на одной прямой, а OK и OM — на одной прямой, треугольники подобны. При этом \(AO=CO\), следовательно, коэффициент подобия равен 1 и \(AK=CM\), \(OK=OM\).

Значит, O — середина обеих диагоналей четырёхугольника AMCK: диагонали AC и MK пересекаются и делятся пополам. По признаку параллелограмма AMCK — параллелограмм.

Что и требовалось доказать.