8. Развивай мышление. а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел-близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось? б) Все пары чисел-близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 и 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165. в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами-близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами-близнецами.

а) Среди простых чисел от 1 до 500 ищем пары с разностью 2. Получаются пары: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463).

Всего получилось 24 пары.

б) Подставляем значения n в выражения 6n − 1 и 6n + 1:

1. n = 87: 521 и 523.
2. n = 135: 809 и 811.
3. n = 165: 989 и 991.

В первых двух парах оба числа простые; 989 делится на 23, поэтому третья пара не является парой простых-близнецов.

в) Для двузначных чисел 6k − 1 и 6k + 1 подходят k = 2, 3, …, 16. Проверяем пары; непарные простые числа в требуемом смысле получаются, если хотя бы одно число составное:

(11, 13) — оба простые, поэтому это пара близнецов. Пары, не являющиеся числами-близнецами: (23, 25), (35, 37), (47, 49), (59, 61) — близнецы; (65, 67), (77, 79), (83, 85), (95, 97).

Ответ: а) 24 пары; б) (521, 523), (809, 811), (989, 991); в) (23, 25), (35, 37), (47, 49), (65, 67), (77, 79), (83, 85), (95, 97).