8. Решите уравнение: \(\frac{5}{x} - x = 4\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Решение:

1. Умножим обе части уравнения на \( x \), чтобы избавиться от знаменателя (при \( x \neq 0 \)): \( 5 - x^2 = 4x \).
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: \( x^2 + 4x - 5 = 0 \).
3. Определим коэффициенты: \( a = 1 \), \( b = 4 \), \( c = -5 \).
4. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \).
5. Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.
6. Найдём корни по формуле: \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).
7. \( x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1 \).
8. \( x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \).
9. Оба корня отличны от нуля. По условию, нужно записать больший из корней.

Ответ: \( 1 \).