8. Решите уравнение x²-2 / x-1 = x / 1-x

Привет! Давай разберемся с этим уравнением.

1. Преобразуем уравнение:

   Сначала заметим, что знаменатель 1-x противоположен x-1. Поэтому мы можем переписать уравнение так:

   \[ \frac{x^2 - 2}{x - 1} = -\frac{x}{x - 1} \]

2. Приведем к общему знаменателю:

   Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на (x - 1). Важно помнить, что x не может быть равен 1, иначе знаменатель станет нулем.

   \[ x^2 - 2 = -x \]

3. Решим квадратное уравнение:

   Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

   \[ x^2 + x - 2 = 0 \]

   Теперь найдем корни этого уравнения. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. Давай воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна -1, а произведение равно -2. Легко подобрать корни:

   • x₁ = 1
   • x₂ = -2
4. Проверим корни:

   Мы говорили, что x не может быть равен 1. Поэтому корень x = 1 нам не подходит.

   Проверим корень x = -2:

   \[ \frac{(-2)^2 - 2}{-2 - 1} = \frac{4 - 2}{-3} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \]

   \[ \frac{-2}{1 - (-2)} = \frac{-2}{1 + 2} = \frac{-2}{3} \]

   Значения сошлись, значит, корень x = -2 верный.

Ответ: -2