8. Рис. 20. ABCD - трапеция. Найти: P_ABCD, S_ABCD.

Привет! Перед нами трапеция ABCD с заданными длинами сторон AB=4, BC=3 и углами при основании: угол A = 60°, угол D = 45°. Нам нужно найти периметр (P_ABCD) и площадь (S_ABCD) этой трапеции.

1. Находим периметр:

   Периметр — это сумма длин всех сторон. Нам известны AB, BC и AD (если предположить, что AD - нижнее основание, длина которого нам неизвестна). Пока найдем ту часть, что известна: P_ABCD = AB + BC + CD + AD. Чтобы найти периметр, нам нужно знать длину основания AD и боковой стороны CD. Опустим высоту из B на AD, назовем ее BH1, и из C на AD, назовем ее CH2. В прямоугольном треугольнике ABH1: BH1 = AB * sin(60°) = 4 * √3 / 2 = 2√3. AH1 = AB * cos(60°) = 4 * 1/2 = 2. В прямоугольном треугольнике CDH2: Угол D = 45°, значит, треугольник CDH2 — равнобедренный прямоугольный. CH2 = BH1 = 2√3. Тогда DH2 = CH2 = 2√3. Основание AD = AH1 + H1H2 + DH2. H1H2 = BC = 3. AD = 2 + 3 + 2√3 = 5 + 2√3. Теперь мы можем найти периметр: P_ABCD = 4 + 3 + CD + (5 + 2√3). Нам нужно найти CD. В прямоугольном треугольнике CDH2: CD = CH2 / sin(45°) = 2√3 / (1/√2) = 2√3 * √2 = 2√6. Периметр P_ABCD = 4 + 3 + 2√6 + 5 + 2√3 = 12 + 2√6 + 2√3.

2. Находим площадь:

   Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: S_ABCD = (AD + BC) / 2 * BH1. Мы нашли AD = 5 + 2√3, BC = 3, BH1 = 2√3. S_ABCD = (5 + 2√3 + 3) / 2 * 2√3 = (8 + 2√3) / 2 * 2√3 = (4 + √3) * 2√3 = 8√3 + 2 * 3 = 6 + 8√3.

Ответ: Периметр P_ABCD = 12 + 2√6 + 2√3. Площадь S_ABCD = 6 + 8√3.