8. Теплоход прошёл 108 км по течению реки и 84 км против течения, затратив на весь путь 8 часов. Найдите собственную скорость теплохода, если известно, что скорость течения реки 3 км/ч.

Дано: \(s_1=108\) км, \(s_2=84\) км, \(t=8\) ч, \(v_{\text{теч}}=3\) км/ч.

Пусть \(x\) км/ч — собственная скорость теплохода. Тогда скорость по течению равна \(x+3\), а против течения — \(x-3\).

Составим уравнение времени движения: \(\frac{108}{x+3}+\frac{84}{x-3}=8\), где \(x>3\).

Умножим на \((x+3)(x-3)\): \(108(x-3)+84(x+3)=8(x^2-9)\).

Получаем: \(108x-324+84x+252=8x^2-72\), то есть \(8x^2-192x=0\).

\(8x(x-24)=0\), поэтому \(x=0\) или \(x=24\). Условию \(x>3\) удовлетворяет только \(x=24\).

Ответ: собственная скорость теплохода — 24 км/ч.