8. Тип 7 № 8026 i На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисован треугольник АВС. Найдите сумму углов АВС и АСВ. Ответ дайте в градусах.

Пошаговое решение:

Определим координаты вершин треугольника АВС, предполагая, что левый нижний угол сетки — начало координат (0,0), а размер клетки 1х1.

• Точка А: (1, 3)
• Точка В: (4, 4)
• Точка С: (2, 1)

Найдем векторы сторон треугольника:

• Вектор AB = (4-1, 4-3) = (3, 1)
• Вектор AC = (2-1, 1-3) = (1, -2)
• Вектор BC = (2-4, 1-4) = (-2, -3)

Найдем скалярное произведение векторов для вычисления углов.

Угол ABC (угол при вершине B):

• Вектор BA = (-3, -1)
• Вектор BC = (-2, -3)
• Скалярное произведение BA ⋅ BC = (-3)(-2) + (-1)(-3) = 6 + 3 = 9
• Длина BA = \( \sqrt{(-3)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \)
• Длина BC = \( \sqrt{(-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \)
• cos(∠ABC) = (BA ⋅ BC) / (|BA| * |BC|) = 9 / (\( \sqrt{10} \cdot \sqrt{13} \)) = 9 / \( \sqrt{130} \)

Угол ACB (угол при вершине C):

• Вектор CA = (-1, 2)
• Вектор CB = (2, 3)
• Скалярное произведение CA ⋅ CB = (-1)(2) + (2)(3) = -2 + 6 = 4
• Длина CA = \( \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \)
• Длина CB = \( \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4+9} = \sqrt{13} \)
• cos(∠ACB) = (CA ⋅ CB) / (|CA| * |CB|) = 4 / (\( \sqrt{5} \cdot \sqrt{13} \)) = 4 / \( \sqrt{65} \)

Теперь найдем сами углы:

• ∠ABC = arccos(9 / \( \sqrt{130} \)) ≈ arccos(0.789) ≈ 37.8°
• ∠ACB = arccos(4 / \( \sqrt{65} \)) ≈ arccos(0.496) ≈ 60.26°

Сумма углов ∠ABC + ∠ACB ≈ 37.8° + 60.26° ≈ 98.06°

Альтернативный (более простой) способ:

Можно увидеть, что сторона AC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 1 и 2 (относительно точки А). Если провести горизонтальную линию от С и вертикальную линию от А, то образуется точка (1,1). Разница по x = 2-1=1, разница по y = 3-1=2. Значит, наклон AC соответствует отношению 2/1.

Также можно заметить, что сторона BC является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами 2 и 3 (относительно точки С). Если провести горизонтальную линию от С и вертикальную линию от В, то образуется точка (2,4). Разница по x = 4-2=2, разница по y = 4-1=3. Значит, наклон BC соответствует отношению 3/2.

Более наглядный подход — оценить углы визуально или построить график.

Давайте попробуем найти угол ∠BAC, чтобы затем использовать сумму углов треугольника (180°).

Угол BAC (угол при вершине A):

• Вектор AB = (3, 1)
• Вектор AC = (1, -2)
• Скалярное произведение AB ⋅ AC = (3)(1) + (1)(-2) = 3 - 2 = 1
• Длина AB = \( \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10} \)
• Длина AC = \( \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} \)
• cos(∠BAC) = (AB ⋅ AC) / (|AB| * |AC|) = 1 / (\( \sqrt{10} \cdot \sqrt{5} \)) = 1 / \( \sqrt{50} \) = 1 / (5 \( \sqrt{2} \)) = \( \sqrt{2} \) / 10 ≈ 0.1414
• ∠BAC = arccos(1 / \( \sqrt{50} \)) ≈ 81.87°

Сумма углов треугольника = ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°

∠ABC + ∠ACB = 180° - ∠BAC ≈ 180° - 81.87° ≈ 98.13°

Окончательный ответ, учитывая приближенность вычислений:

Ответ: 98