8. Тип 7 № 8090 На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 нарисован треугольник АБС. Найдите длину биссектрисы треугольника, выходящей из вершины А.

1. Определим координаты вершин треугольника: А(0, 3), Б(3, 0), С(0, 0).

2. Длина стороны АБ = sqrt((3-0)^2 + (0-3)^2) = sqrt(9+9) = sqrt(18) = 3*sqrt(2).

3. Длина стороны АС = 3.

4. Длина стороны БС = 3.

5. Треугольник АБС равнобедренный (АБ = БС). Биссектриса из вершины А будет также медианой и высотой к стороне БС. Однако, по рисунку, АС является высотой, а АБ - гипотенузой. Если АС - катет, то А(0,3), С(0,0), Б(3,0). Тогда АС=3, СБ=3, АБ=3*sqrt(2). Биссектриса из А будет делить противолежащую сторону БС. По теореме о биссектрисе: АБ/АС = БД/ДС. 3*sqrt(2)/3 = БД/ДС. sqrt(2) = БД/ДС. БД + ДС = 3. БД = 3 - ДС. sqrt(2) = (3-ДС)/ДС. sqrt(2)*ДС = 3 - ДС. ДС(sqrt(2)+1) = 3. ДС = 3/(sqrt(2)+1) = 3(sqrt(2)-1). Длина биссектрисы AD = sqrt(АБ*АС - БД*ДС) = sqrt(3*sqrt(2)*3 - (3-3(sqrt(2)-1))*(3(sqrt(2)-1))) = sqrt(9*sqrt(2) - (6-3*sqrt(2))*(3*sqrt(2)-3)) = sqrt(9*sqrt(2) - (18*sqrt(2) - 18 - 18 + 9*sqrt(2))) = sqrt(9*sqrt(2) - 27*sqrt(2) + 36) = sqrt(36 - 18*sqrt(2)).