8. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой стороне, равна 8 см. Найдите основание этого треугольника.

Решение:

Пусть дан равнобедренный треугольник ABC, где AC — основание, AB = BC.

\( \angle ABC = 120^{\circ} \) — угол при вершине (угол, противолежащий основанию).

Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ} - 120^{\circ}}{2} = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

Проведем высоту BH к боковой стороне AB. По условию, \( BH = 8 \) см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC (где \( \angle BHC = 90^{\circ} \)).

У нас есть \( \angle BCH = 30^{\circ} \) и \( BH = 8 \) см.

В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

\( BH = \frac{1}{2} BC \)

\( 8 = \frac{1}{2} BC \)

\( BC = 8 \cdot 2 = 16 \) см.

Так как треугольник равнобедренный, \( AB = BC = 16 \) см.

Теперь найдем основание AC. Можно использовать треугольник ABH, но проще найти AC, используя тот факт, что \( \angle BAC = 30^{\circ} \) и \( AB = 16 \) см. Но высота проведена к боковой стороне, нам нужно найти основание AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC, где \( \angle C = 30^{\circ} \), \( BC = 16 \) см.

Найдем высоту, проведенную к основанию AC. Пусть это будет высота AK.

В прямоугольном треугольнике ABK, \( \angle A = 30^{\circ} \), \( AB = 16 \) см.

\( BK = AB \sin(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{1}{2} = 8 \) см. (Это и есть высота, проведенная к основанию).

\( AK = AB \cos(30^{\circ}) = 16 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 8\sqrt{3} \) см.

Основание AC = \( 2 \cdot AK = 2 \cdot 8\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \) см.

Ответ: Основание треугольника равно \( 16\sqrt{3} \) см.