8) Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения \((\frac{0.1}{8})^{0.1x - 1} = 16\)

Решение:

Перепишем уравнение, используя степени:

\[ (\frac{1}{80})^{0.1x - 1} = 16 \]\[ (80^{-1})^{0.1x - 1} = 2^4 \]\[ 80^{-0.1x + 1} = 2^4 \]

Заметим, что \( 80 \) не является степенью \( 2 \). Перепишем \( 0.1 = \frac{1}{10} \):

\[ (\frac{1}{80})^{\frac{x-10}{10}} = 16 \]\[ (80^{-1})^{\frac{x-10}{10}} = 2^4 \]\[ 80^{-\frac{x-10}{10}} = 2^4 \]\[ 80^{\frac{10-x}{10}} = 2^4 \]\[ (2^3 \cdot 10)^{\frac{10-x}{10}} = 2^4 \]

В данном случае, проще привести обе части к одному основанию. Найдём, что \( 16 = (\frac{1}{80})^{-\frac{1}{2}} \), но это не верно.

Попробуем привести к основанию \( 2 \) или \( 4 \).

\( 16 = 2^4 \). \( 0.1 = \frac{1}{10} \). \( 8 \) = \( 2^3 \).

\[ (\frac{1}{2^3 \cdot 10})^{\frac{1}{10}x - 1} = 2^4 \]\[ (2^{-3} \cdot 10^{-1})^{\frac{1}{10}x - 1} = 2^4 \]

Это уравнение имеет сложный вид для решения в рамках школьной программы без логарифмов. Перепроверим условие.

Возможно, в основании степени \( \frac{0.1}{8} \) подразумевалось \( \frac{1}{8} \) или \( 0.8 \).

Предположим, что основание степени \( \frac{1}{8} \).

\[ (\frac{1}{8})^{0.1x - 1} = 16 \]\[ (2^{-3})^{\frac{1}{10}x - 1} = 2^4 \]\[ 2^{-3(\frac{1}{10}x - 1)} = 2^4 \]\[ -\frac{3}{10}x + 3 = 4 \]\[ -\frac{3}{10}x = 1 \]\[ x = -\frac{10}{3} \]\[ x = -3\frac{1}{3} \]

Этот корень \( -3\frac{1}{3} \) принадлежит промежутку \( [-4; 0) \).

Если основание степени \( 8 \).

\[ 8^{0.1x - 1} = 16 \]\[ (2^3)^{\frac{1}{10}x - 1} = 2^4 \]\[ 3(\frac{1}{10}x - 1) = 4 \]\[ \frac{3}{10}x - 3 = 4 \]\[ \frac{3}{10}x = 7 \]\[ x = \frac{70}{3} \]

Этот корень \( \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3} \) не принадлежит ни одному из промежутков.

Исходя из вариантов ответа, скорее всего, предполагался вариант с \( \frac{1}{8} \) в основании.

Ответ: 1) \([-4;0)\).