1. (НЕ)СМОТРЯ на засуху, фермеры вырастили неплохой урожай. — "несмотря на" здесь является производным предлогом, который пишется слитно.
2. Офицеры несут боевое дежурство, ЧТО (БЫ) мирные граждане страны могли жить спокойно. — "чтобы" — это союз, пишется слитно.
3. Земля взаимодействует с компасной стрелкой ТАК (ЖЕ), как и любые два магнита. — "так же" пишется раздельно, так как "же" — это частица, которая может быть опущена без потери смысла, и "так" — это наречие.
4. Мы привыкли смотреть в глаза опасности, привыкли идти ей (НА) ВСТРЕЧУ. — "навстречу" здесь является наречием, которое пишется слитно.