8 В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?

Решение:

Сначала найдём общее количество фломастеров в коробке:

$$10 ext{ (синих)} + 9 ext{ (красных)} + 6 ext{ (зелёных)} = 25 ext{ фломастеров}$$

Теперь найдём общее количество способов выбрать 2 фломастера из 25. Это сочетания, так как порядок выбора не важен:

$$C_{25}^2 = rac{25!}{2!(25-2)!} = rac{25!}{2!23!} = rac{25 imes 24}{2 imes 1} = 25 imes 12 = 300$$

Теперь найдём количество способов выбрать один синий фломастер из 10 и один красный фломастер из 9.

Количество способов выбрать 1 синий фломастер из 10:

$$C_{10}^1 = rac{10!}{1!(10-1)!} = rac{10!}{1!9!} = 10$$

Количество способов выбрать 1 красный фломастер из 9:

$$C_9^1 = rac{9!}{1!(9-1)!} = rac{9!}{1!8!} = 9$$

Чтобы найти количество способов выбрать один синий И один красный фломастер, перемножим эти значения:

$$10 imes 9 = 90$$

Вероятность того, что будут выбраны один синий и один красный фломастер, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

$$P( ext{1 синий и 1 красный}) = rac{ ext{Количество способов выбрать 1 синий и 1 красный}}{ ext{Общее количество способов выбрать 2 фломастера}} = rac{90}{300}$$

Упростим дробь:

$$rac{90}{300} = rac{9}{30} = rac{3}{10} = 0.3$$

Ответ: 0.3