8. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 82, а один из острых углов равен 45°. Найдите площадь треугольника.

Задание 8. Прямоугольный треугольник

Дано:

• Гипотенуза \( c = 82 \)
• Один из острых углов \( \alpha = 45^\circ \)

Найти: Площадь \( S \).

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Если один угол равен 45°, то второй острый угол равен \( 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ \).
2. Так как два угла равны (45°), треугольник является равнобедренным. Это значит, что катеты равны: \( a = b \).
3. По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).
4. Так как \( a = b \), получаем: \( a^2 + a^2 = c^2 \)
5. \( 2a^2 = c^2 \)
6. Подставим значение гипотенузы: \( 2a^2 = 82^2 = 6724 \)
7. \( a^2 = \frac{6724}{2} = 3362 \)
8. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \]
9. Так как \( a = b \), то \( S = \frac{1}{2} \cdot a^2 \)
10. Подставим значение \( a^2 \): \( S = \frac{1}{2} \cdot 3362 = 1681 \)

Ответ: Площадь треугольника равна 1681.