8. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°, а основание равно 4 см. Найдите высоту, проведенную к боковой стороне.

Краткое пояснение:

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если один из углов 120°, то он является углом при вершине. Высота, проведенная к боковой стороне, образует прямоугольный треугольник.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем углы треугольника. Так как треугольник равнобедренный, углы при основании равны. Если угол при вершине равен 120°, то сумма углов при основании равна 180° - 120° = 60°. Следовательно, каждый угол при основании равен 60° / 2 = 30°.
2. Шаг 2: Рассмотрим один из прямоугольных треугольников, образованных высотой, проведенной к боковой стороне. Основание треугольника равно 4 см, значит, половина основания равна 4 см / 2 = 2 см. Высота, проведенная к основанию, делит его пополам.
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике, образованном высотой к боковой стороне, один из углов равен 30° (угол при основании). Сторона, прилежащая к этому углу, равна половине основания, то есть 2 см.
4. Шаг 4: Используем тригонометрию. Высота (h) является катетом, противолежащим углу 30°. Половина основания (2 см) является прилежащим катетом. Тангенс угла 30° равен отношению противолежащего катета к прилежащему: \( \tan(30°) = \frac{h}{2} \).
5. Шаг 5: Известно, что \( \tan(30°) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). Таким образом, \( \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{2} \). Решая относительно h, получаем \( h = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \) см.
6. Примечание: В условии задачи указано, что основание равно 4 см, а не половина основания. Высота проведена к боковой стороне, а не к основанию. Если угол при вершине 120°, то углы при основании по 30°. Высота к боковой стороне, назовем её h_b. В прямоугольном треугольнике, образованном этой высотой, один из углов будет 30°, а другой 60°. Гипотенузой будет половина основания, то есть 2 см. Тогда \( \sin(30°) = \frac{h_b}{2} \), откуда \( h_b = 2 \cdot \sin(30°) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \) см.

Ответ: 1 см