8. В равнобедренной трапеции основания равны 11 см и 19 см, боковая сторона 13 см. Найдите площадь.

Решение:

Чтобы найти площадь равнобедренной трапеции \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), нам нужно найти высоту \( h \).

Данные: \( a = 11 \) см, \( b = 19 \) см, боковая сторона \( c = 13 \) см.

Проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему. Они разделят большее основание на три отрезка. Средний отрезок равен меньшему основанию (11 см). Крайние отрезки равны и составляют \( \frac{19 - 11}{2} = \frac{8}{2} = 4 \) см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой 13 см (боковая сторона) и катетом 4 см (часть большего основания). Найдем второй катет — высоту \( h \) — по теореме Пифагора:

\[ h^2 + 4^2 = 13^2 \]

\[ h^2 + 16 = 169 \]

\[ h^2 = 169 - 16 = 153 \]

\[ h = \sqrt{153} = \sqrt{9 \cdot 17} = 3\sqrt{17} \text{ см} \]

Теперь найдем площадь:

\[ S = \frac{11 + 19}{2} \cdot 3\sqrt{17} = \frac{30}{2} \cdot 3\sqrt{17} = 15 \cdot 3\sqrt{17} = 45\sqrt{17} \text{ кв. см} \]

Ответ: \( 45\sqrt{17} \) кв. см.