8. В школе, где каждый ученик либо всегда говорит правду, либо всегда лжет, собрались три ученика. Первый сказал: "Все мы лжецы". Второй сказал: "Ровно один из нас лжец". Докажите, что третий ученик — лжец.

Доказательство: Предположим, что первый ученик говорит правду. Тогда все трое — лжецы. Но это противоречит тому, что первый говорит правду. Значит, первый ученик — лжец. Теперь предположим, что второй ученик говорит правду. Тогда ровно один из троих — лжец. Но мы уже знаем, что первый — лжец. Значит, второй и третий должны говорить правду. Но это противоречит тому, что только один лжец. Значит, второй ученик тоже лжец. Так как первый и второй ученики — лжецы, то третий ученик должен говорить правду, если бы второй был честным. Но, как мы выяснили, второй лжец. Теперь если мы предположим, что третий говорит правду, то утверждение второго ученика "ровно один из нас лжец" - ложно. Второй сказал правду, а значит он - не лжец. Значит, он лжец. Получили противоречие. Значит, третий ученик — лжец. **Вывод:** Первый, второй и третий ученики - лжецы.