8 В треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, отрезок АН — высота. Угол ВСА равен 36°. Найдите угол ВАН. Ответ дайте в градусах.

Решение:

1. Поскольку в треугольнике АВС стороны АВ и ВС равны, то он является равнобедренным. Углы при основании АС равны, значит, угол ВАС = углу ВСА = 36°.
2. АН — высота, проведенная из вершины В к основанию АС. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, также является биссектрисой и медианой.
3. Угол ВАН является частью угла ВАС. Поскольку АН является биссектрисой, она делит угол ВАС пополам, но в данном случае она является высотой, и угол ВАН — это часть угла ВАС.
4. В прямоугольном треугольнике АНВ, угол АНВ = 90°. В треугольнике АВС, угол ВАС = 36°.
5. Угол АНС = 90°. В треугольнике АНС, угол АСН = 36°. Сумма углов в треугольнике АНС равна 180°. Угол НАC = 180° - 90° - 36° = 54°.
6. Угол ВАН равен углу НАC, так как АН является высотой и в данном случае совпадает с медианой и биссектрисой.

Ответ: 54