8 В треугольнике АВС угол C равен 90°, АC=9,sinA= 4/5. Найдите АВ.

Задание 8. Прямоугольный треугольник

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90 градусов. Нам даны длина катета AC и синус угла A.

Дано:

• \( ∠ C = 90^\circ \)
• \( AC = 9 \)
• \( \text{sin}A = \frac{4}{5} \)

Найти: \( AB \) (гипотенузу)

В прямоугольном треугольнике синус угла определяется как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

\[ \text{sin}A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \]

В нашем случае, противолежащий катет для угла A — это катет BC, а гипотенуза — это AB.

\[ \text{sin}A = \frac{BC}{AB} \]

Мы знаем \( \text{sin}A \) и AC, но нам нужен BC. Мы можем найти BC, используя теорему Пифагора, если знаем AB, или найти AB, если знаем BC. Или мы можем сначала найти BC, зная AC и угол A.

Сначала найдем угол A, если \( \text{sin}A = \frac{4}{5} \). Угол A — это острый угол в прямоугольном треугольнике.

Вспомним основные тригонометрические соотношения. Если \( \text{sin}A = \frac{4}{5} \), то мы можем представить это как отношение сторон 4:5. Так как \( \text{sin}A = \frac{BC}{AB} \), то \( BC=4k \) и \( AB=5k \) для некоторого \( k \).

Теперь применим теорему Пифагора: \( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

\[ 9^2 + (4k)^2 = (5k)^2 \]
\[ 81 + 16k^2 = 25k^2 \]
\[ 81 = 25k^2 - 16k^2 \]
\[ 81 = 9k^2 \]
\[ k^2 = \frac{81}{9} \]
\[ k^2 = 9 \]
\[ k = 3 \]

Теперь, когда мы нашли \( k \), мы можем найти длину гипотенузы AB:

\[ AB = 5k = 5 \times 3 = 15 \]

Альтернативный способ:

Мы знаем, что \( \text{sin}A = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{5} \), значит \( BC = \frac{4}{5} AB \).

Также в прямоугольном треугольнике \( \text{cos}A = \frac{AC}{AB} \).

Мы можем найти \( \text{cos}A \) из \( \text{sin}A \) по основному тригонометрическому тождеству: \( \text{sin}^2A + \text{cos}^2A = 1 \).

\[ (\frac{4}{5})^2 + \text{cos}^2A = 1 \]
\[ \frac{16}{25} + \text{cos}^2A = 1 \]
\[ \text{cos}^2A = 1 - \frac{16}{25} \]
\[ \text{cos}^2A = \frac{25 - 16}{25} \]
\[ \text{cos}^2A = \frac{9}{25} \]
\[ \text{cos}A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \]

Теперь используем \( \text{cos}A = \frac{AC}{AB} \):

\[ \frac{3}{5} = \frac{9}{AB} \]

Отсюда:

\[ AB = \frac{9 \times 5}{3} = \frac{45}{3} = 15 \]

Ответ: AB = 15.