8. В треугольнике АВС угол В — прямой, ВМ — медиана, ВН — высота. Найдите ВН, если \(\angle\) MBH = 60°, AC = 12.

Решение:

В прямоугольном \( \triangle ABC \), \( BM \) — медиана к гипотенузе \( AC \). Следовательно, \( BM = AM = MC = \frac{1}{2}AC \).

Так как \( AC = 12 \), то \( BM = \frac{1}{2} \times 12 = 6 \).

Рассмотрим прямоугольный \( \triangle MBH \).

\( \angle BHM = 90^{\circ} \) (так как \( BH \) — высота).

\( \angle MBH = 60^{\circ} \) (дано).

В прямоугольном \( \triangle MBH \) отношение противолежащего катета \( BH \) к гипотенузе \( BM \) равно синусу угла \( \angle MBH \):

\( \sin(\angle MBH) = \frac{BH}{BM} \)

\( \sin(60^{\circ}) = \frac{BH}{6} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BH}{6} \)

\( BH = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \)

Ответ: \( 3\sqrt{3} \).