83. Каким из множеств \(N\), \(Z\), \(Q\) и \(R\) принадлежит число: а) \(6,(9)\); б) \(-1,35(0)\); в) \(0,8(678)\); г) \(2\pi\)?

Используем свойства множеств: \(N\) — натуральные числа, \(Z\) — целые, \(Q\) — рациональные, \(R\) — действительные числа.

1. \(6,(9)=7\), поэтому \(6,(9)\in N\), а значит, также принадлежит \(Z\), \(Q\) и \(R\).
2. \(-1,35(0)=-1,35000\ldots=-1,35\). Это рациональное число, но не целое: \(-1,35\in Q\) и \(-1,35\in R\).
3. \(0,8(678)\) — бесконечная периодическая дробь, поэтому она рациональна и действительна: \(0,8(678)\in Q\) и \(0,8(678)\in R\).
4. Число \(\pi\) иррационально, поэтому \(2\pi\) также иррационально, но является действительным: \(2\pi\in R\).

Ответ: а) \(N, Z, Q, R\); б) \(Q, R\); в) \(Q, R\); г) \(R\).