83. Окружности с центрами А и В пересекаются в точках М и Н. Докажите, что АВ перпендикулярно MH, MC = CH.

Доказательство: Рассмотрим треугольники AMB и AHB. AM = AH (радиусы окружностей) , BM = BH (радиусы окружностей). AB - общая сторона. Следовательно, треугольник AMB = треугольнику AHB (по трем сторонам). Поэтому угол MAB = угол HAB, значит, луч AB - биссектриса угла MAN, а отрезок AC - биссектриса треугольника MAN. Так как AM = AH, то треугольник MAN равнобедренный, следовательно, его биссектриса AC является высотой и медианой. То есть AB перпендикулярен MH и MC = CH, что и требовалось доказать.