835. Докажите неравенство: а) x² − x + 8 > 0; б) 4a² + 4ab + 3b² ≥ 0; в) 4y² > 4y − 12; г) 9x² ≥ 6xy − 7y².

а) Выделим полный квадрат:

\(x^2-x+8=\left(x-\frac12\right)^2+\frac{31}{4}>0\).

б)

\(4a^2+4ab+3b^2=(2a+b)^2+2b^2\ge 0\).

в) Перенесём всё в левую часть:

\(4y^2-4y+12=4\left(y-\frac12\right)^2+11>0\).

Следовательно, \(4y^2>4y-12\).

г) Перенесём всё в левую часть:

\(9x^2-6xy+7y^2=(3x-y)^2+6y^2\ge 0\).

Значит, \(9x^2\ge 6xy-7y^2\).

Ответ: все неравенства доказаны.