837. Докажите неравенство: а) x² + y² + 18x − 6y + 100 > 0; б) a² + b² + 20 − 2a + 2b > 0; в) 4x² + a² > 4x − 2a − 28; г) 9b² + 4c² + 2 ≥ 6b − 4c.

а)

\(x^2+y^2+18x-6y+100=(x+9)^2+(y-3)^2+10>0\).

б)

\(a^2+b^2+20-2a+2b=(a-1)^2+(b+1)^2+18>0\).

в) Перенесём всё в левую часть:

\(4x^2+a^2-4x+2a+28=4(x-\frac12)^2+(a+1)^2+27>0\).

Следовательно, \(4x^2+a^2>4x-2a-28\).

г) Перенесём правую часть влево:

\(9b^2+4c^2-6b+4c+2=(3b-1)^2+(2c+1)^2\ge 0\).

Значит, \(9b^2+4c^2+2\ge 6b-4c\).

Ответ: все неравенства доказаны.