Ответ:

**Решение:**

1. Всего дней в январе: 31 день.
2. Дней каникул: 10 дней.
3. Воскресных дней: 3 дня (15, 22, 29 января).
4. Всего свободных дней: 10 дней (каникулы) + 3 дня (воскресенье) = 13 дней.
5. Учебных дней: 31 день - 13 дней = 18 дней.
6. Часть свободных дней: \(\frac{13}{31}\).
7. Часть учебных дней: \(\frac{18}{31}\).

**Ответ:** Свободные дни составляют \(\frac{13}{31}\) января, учебные дни составляют \(\frac{18}{31}\) января.