9. 1) Докажите, что выражение \((7x^6 - 4x^2 - 5) - (8x^6 - x^2 - 9) + (3x^2 + x)\) принимает положительные значения при любых значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х?

Решение:

1. Упростим выражение: \((7x^6 - 4x^2 - 5) - (8x^6 - x^2 - 9) + (3x^2 + x) = 7x^6 - 4x^2 - 5 - 8x^6 + x^2 + 9 + 3x^2 + x = -x^6 + 0x^2 + x + 4 = -x^6 + x + 4\)
2. Рассмотрим функцию \(f(x) = -x^6 + x + 4\).
3. Найдем производную: \(f'(x) = -6x^5 + 1\).
4. Приравняем производную к нулю: \(-6x^5 + 1 = 0 \implies x^5 = \frac{1}{6} \implies x = \sqrt[5]{\frac{1}{6}}\).
5. Найдем вторую производную: \(f''(x) = -30x^4\).
6. В точке \(x = \sqrt[5]{\frac{1}{6}}\), \(f''(\sqrt[5]{\frac{1}{6}}) = -30\left(\sqrt[5]{\frac{1}{6}}\right)^4 < 0\), значит, в этой точке достигается максимум.
7. Вычислим значение функции в точке максимума: \(f\left(\sqrt[5]{\frac{1}{6}}\right) = -\left(\sqrt[5]{\frac{1}{6}}\right)^6 + \sqrt[5]{\frac{1}{6}} + 4 = -\frac{1}{6}\sqrt[5]{\frac{1}{6}} + \sqrt[5]{\frac{1}{6}} + 4 = \frac{5}{6}\sqrt[5]{\frac{1}{6}} + 4\).
8. Так как \(\sqrt[5]{\frac{1}{6}} > 0\), то \(\frac{5}{6}\sqrt[5]{\frac{1}{6}} > 0\), следовательно, \(\frac{5}{6}\sqrt[5]{\frac{1}{6}} + 4 > 4\).
9. Это означает, что минимальное значение выражения не может быть достигнуто, так как функция стремится к \(-\infty\) при \(x \to \pm\infty\). Однако, если под «принимает положительные значения» подразумевается, что оно может быть положительным, то да, оно может принимать положительные значения.
10. Если вопрос подразумевает, что выражение всегда положительно, то это неверно.
11. Если же вопрос в том, какое наименьшее значение принимает выражение, то такого значения нет, оно стремится к \(-\infty\).
12. Если же вопрос в том, какое наибольшее значение принимает выражение, то оно равно \(\frac{5}{6}\sqrt[5]{\frac{1}{6}} + 4\) при \(x = \sqrt[5]{\frac{1}{6}}\).

Ответ: Выражение принимает положительные значения. Наименьшего значения не существует (стремится к -∞). Наибольшее значение равно \(\frac{5}{6}\sqrt[5]{\frac{1}{6}} + 4\) при \(x = \sqrt[5]{\frac{1}{6}}\).