9 Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $$P = σST^4$$, где $$P$$ — мощность излучения звезды (в Вт), $$σ = 5,7 · 10^{-8}$$ $$\frac{Вт}{м^2 \cdot К^4}$$ — постоянная, $$S$$ — площадь поверхности звезды (в м²), а $$T$$ — температура (в К). Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $$\frac{1}{256} \cdot 10^{21}$$ м², а мощность её излучения равна $$9,12 \cdot 10^{26}$$ Вт. Найдите температуру этой звезды. Ответ дайте в кельвинах.

Привет! Давай разберём эту задачу с законом Стефана-Больцмана.

Дано:

• Формула: \(P = \sigma S T^4\)
• Мощность излучения: \(P = 9,12 \times 10^{26} \text{ Вт}\)
• Постоянная Стефана-Больцмана: \(\sigma = 5,7 \times 10^{-8} \frac{Вт}{м^2 \cdot К^4}\)
• Площадь поверхности: \(S = \frac{1}{256} \times 10^{21} \text{ м}^2\)

Найти:

• Температуру звезды \(T\) (в Кельвинах).

Решение:

Нам нужно выразить температуру \(T\) из формулы закона Стефана-Больцмана:

\[P = \sigma S T^4\]

Сначала разделим обе части на \(\sigma S\):

\[ T^4 = \frac{P}{\sigma S} \]

Теперь найдём корень четвёртой степени:

\[ T = \sqrt[4]{\frac{P}{\sigma S}} \]

Подставим известные значения:

\[ T^4 = \frac{9,12 \times 10^{26} \text{ Вт}}{\left(5,7 \times 10^{-8} \frac{Вт}{м^2 \cdot К^4}\right) \times \left(\frac{1}{256} \times 10^{21} \text{ м}^2\right)} \]

Давай сначала упростим знаменатель:

\[ \sigma S = 5,7 \times 10^{-8} \times \frac{1}{256} \times 10^{21} \]

\[ \sigma S = \frac{5,7}{256} \times 10^{-8+21} \]

\[ \sigma S \approx 0,022265625 \times 10^{13} \]

Теперь подставим это обратно в формулу для \(T^4\):

\[ T^4 = \frac{9,12 \times 10^{26}}{0,022265625 \times 10^{13}} \]

\[ T^4 = \frac{9,12}{0,022265625} \times 10^{26-13} \]

\[ T^4 \approx 409,6 \times 10^{13} \]

\[ T^4 \approx 4,096 \times 10^{15} \]

Теперь найдём корень четвёртой степени. Нам нужно найти число, которое при умножении само на себя 4 раза даст примерно 4,096.

Заметим, что \( 8^4 = 8 \times 8 \times 8 \times 8 = 64 \times 64 = 4096 \).

Значит, \( T^4 \approx 8^4 \times 10^{12} \) (так как \(10^{15} = 10^3 \times 10^{12} = 1000 \times 10^{12}\), а \(4096 \approx 4 \times 1000\)).

Чтобы было проще, перепишем \(T^4\) так:

\[ T^4 \approx 40960 \times 10^{12} \]

Теперь легче взять корень:

\[ T \approx \sqrt[4]{40960} \times \sqrt[4]{10^{12}} \]

\[ T \approx \sqrt[4]{40960} \times 10^3 \]

Попробуем \(8\): \(8^4 = 4096\). Попробуем \(10\): \(10^4 = 10000\). Попробуем \(15\): \(15^4 = 50625\).

Наше число \(40960\) находится между \(8^4\) и \(15^4\). Давай проверим \(14^4\): \(14^4 = 38416\). И \(15^4 = 50625\).

Оно очень близко к \(14^4\).

Чтобы было точнее, заметим, что \(4,096 \times 10^{15} = (4096 \times 10^3) \times 10^{12}\).

\( T = √[4]{4096 \times 10^3} \times 10^3 \text{ К} \)

Упростим \(S\) другим способом:

\[ S = \frac{10^{21}}{256} \text{ м}^2 \]

Тогда

\[ T^4 = \frac{9.12 \times 10^{26}}{5.7 \times 10^{-8} \times \frac{10^{21}}{256}} = \frac{9.12 \times 10^{26} \times 256}{5.7 \times 10^{21+ (-8)}} = \frac{9.12 \times 256}{5.7} \times 10^{26-13} \]

\[ T^4 = \frac{2334.72}{5.7} \times 10^{13} \]

\[ T^4 \approx 409.6 \times 10^{13} = 4.096 \times 10^{15} \]

Теперь возьмем корень четвертой степени:

\[ T = (4.096 \times 10^{15})^{1/4} \]

\[ T = (4096 \times 10^{12})^{1/4} \]

Так как \(8^4 = 4096\), то \(\sqrt[4]{4096} = 8\).

И \(\sqrt[4]{10^{12}} = 10^{12/4} = 10^3\).

\[ T = 8 \times 10^3 \text{ К} \]

Проверка:

\[ T = 8000 \text{ К} \]

\[ P = (5.7 \times 10^{-8}) \times (\frac{10^{21}}{256}) \times (8000)^4 \]

\[ P = (5.7 \times 10^{-8}) \times (\frac{10^{21}}{256}) \times (8 \times 10^3)^4 \]

\[ P = (5.7 \times 10^{-8}) \times (\frac{10^{21}}{256}) \times (8^4 \times 10^{12}) \]

\[ P = (5.7 \times 10^{-8}) \times (\frac{10^{21}}{256}) \times (4096 \times 10^{12}) \]

\[ P = \frac{5.7 \times 4096}{256} \times 10^{-8 + 21 + 12} \]

\[ P = \frac{23347.2}{256} \times 10^{25} \]

\[ P = 91.2 \times 10^{25} = 9.12 \times 10^{26} \text{ Вт} \]

Всё совпадает!

Ответ: 8000