9. Исследовать с помощью производной функцию и постройте график f(x)=2-3x²—x³

Исследование функции \(f(x) = 2 - 3x^2 - x^3\)

1. Область определения:
Функция определена для всех действительных чисел, \(D(f) = (-\infty; \infty)\).

2. Точки пересечения с осями координат:
* С осью Oy: Положим \(x=0\). \(f(0) = 2 - 3(0)^2 - (0)^3 = 2\). Точка пересечения: \((0, 2)\).
* С осью Ox: Положим \(f(x)=0\). \(2 - 3x^2 - x^3 = 0\) или \(x^3 + 3x^2 - 2 = 0\).
Попробуем найти целые корни среди делителей числа -2: \(\pm 1, \pm 2\).
Если \(x = -1\): \((-1)^3 + 3(-1)^2 - 2 = -1 + 3 - 2 = 0\). Значит, \(x=-1\) — корень.
Разделим многочлен \(x^3 + 3x^2 - 2\) на \((x+1)\).
\[ (x^3 + x^2) + (2x^2 + 2x) - (2x + 2) = x^2(x+1) + 2x(x+1) - 2(x+1) = (x+1)(x^2 + 2x - 2) \]
Найдем корни \(x^2 + 2x - 2 = 0\) по теореме Виета:
\[ x = \frac{-2 ± √{2^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-2 ± √{4 + 8}}{2} = \frac{-2 ± √{12}}{2} = \frac{-2 ± 2√{3}}{2} = -1 ± √{3} \]
Точки пересечения с осью Ox: \((-1, 0)\), \((-1 - √{3}, 0)\), \((-1 + √{3}, 0)\).

3. Возрастание и убывание, точки экстремума:
Найдем производную:
\[ f'(x) = (2 - 3x^2 - x^3)' = -6x - 3x^2 = -3x(2 + x) \]
Приравняем производную к нулю:
\[ -3x(2 + x) = 0 \]
\(x = 0\) или \(x = -2\).

Определим знаки производной на интервалах:
* \((-\infty; -2)\): Возьмем \(x=-3\). \(f'(-3) = -3(-3)(2 - 3) = 9(-1) = -9 < 0\). Функция убывает.
* \((-2; 0)\): Возьмем \(x=-1\). \(f'(-1) = -3(-1)(2 - 1) = 3(1) = 3 > 0\). Функция возрастает.
* \((0; \infty)\): Возьмем \(x=1\). \(f'(1) = -3(1)(2 + 1) = -3(3) = -9 < 0\). Функция убывает.

* Точка \(x = -2\) — точка минимума. \(f(-2) = 2 - 3(-2)^2 - (-2)^3 = 2 - 3(4) - (-8) = 2 - 12 + 8 = -2\). Минимум: \((-2, -2)\).
* Точка \(x = 0\) — точка максимума. \(f(0) = 2\). Максимум: \((0, 2)\).

4. Наклонные асимптоты:
Так как функция является многочленом, наклонных асимптот нет.

5. Построение графика:
Отметим найденные точки: \((0, 2)\) (пересечение с Oy, максимум), \((-1, 0)\), \((-1 - √{3}, 0) ≈ (-2.73, 0)\), \((-1 + √{3}, 0) ≈ (0.73, 0)\) (пересечения с Ox), \((-2, -2)\) (минимум).

График будет иметь следующую форму: убывает до \(x=-2\), возрастает до \(x=0\), убывает после \(x=0\).