9 класс. 2. В параллелограмме KMNP точка B — середина стороны MN, A — точка на отрезке PN, такая, что PA:AN=2:1. Выразите векторы MA и AB через векторы m=KM и n=KP.

Пусть вершина \(K\) соответствует началу отсчёта. Тогда радиус-векторы точек: \(M=\vec m\), \(P=\vec n\), а из свойства параллелограмма \(N=\vec m+\vec n\).

1. Так как \(PA:AN=2:1\), точка \(A\) делит отрезок \(PN\) в отношении 2:1 от точки \(P\). Поэтому \(\overrightarrow{KA}=\vec n+\frac23\vec m\).

2. Вычитаем радиус-векторы начала и конца, чтобы найти \(\overrightarrow{MA}\): \(\overrightarrow{MA}=\overrightarrow{KA}-\overrightarrow{KM}=\vec n+\frac23\vec m-\vec m=\vec n-\frac13\vec m\).

3. Поскольку \(B\) — середина \(MN\), \(\overrightarrow{KB}=\frac{\overrightarrow{KM}+\overrightarrow{KN}}2=\frac{\vec m+(\vec m+\vec n)}2=\vec m+\frac12\vec n\).

4. Находим \(\overrightarrow{AB}\): \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{KA}=\vec m+\frac12\vec n-\left(\vec n+\frac23\vec m\right)=\frac13\vec m-\frac12\vec n\).

Ответ: \(\overrightarrow{MA}=\vec n-\frac13\vec m\), \(\overrightarrow{AB}=\frac13\vec m-\frac12\vec n\).