9. \(M, N, E, F, K\) — произвольные точки. Докажите, что \(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{EK}+\overrightarrow{NF}=\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{NE}\).

Сгруппируем векторы слева по правилу сложения векторов, соответствующих последовательным перемещениям:

\(\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EK}=\overrightarrow{MK}\), а \(\overrightarrow{KN}+\overrightarrow{NF}=\overrightarrow{KF}\). Поэтому левая часть равна \(\overrightarrow{MK}+\overrightarrow{KF}=\overrightarrow{MF}\).

Справа \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{ME}\), следовательно, \(\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{EF}+\overrightarrow{NE}=\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{MF}\).

Обе части равны \(\overrightarrow{MF}\), значит равенство доказано.