Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 9.Маша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, и полученной разности зачеркнула одну…Фото задания

Ответ:

Логика решения:

Число, которое получается после вычитания суммы цифр из исходного четырёхзначного числа, всегда делится на 9. Это свойство можно проверить: любое число можно представить как сумму его цифр плюс число, делящееся на 9. Например, 1234 = (1+2+3+4) + 1221. Сумма 1+2+3+4 = 10. 1234 - 10 = 1224. 1224 делится на 9 (1+2+2+4=9).

Полученное после вычитания число Маши — 543. Оно не делится на 9 (5+4+3 = 12).

Маша зачеркнула одну цифру из числа, которое получилось после вычитания. Это значит, что исходное число, которое получилось после вычитания, было четырёхзначным. После зачеркивания одной цифры оно стало трёхзначным - 543.

Возможные варианты исходного числа (перед зачеркиванием):

  1. Если зачеркнута первая цифра (неизвестная 'x'): x543. Сумма цифр x+5+4+3 = x+12. Это число должно делиться на 9. Если x=6, то 6+12=18 (делится на 9). Число было 6543.
  2. Если зачеркнута вторая цифра: 5x43. Сумма цифр 5+x+4+3 = x+12. Если x=6, то 6+12=18 (делится на 9). Число было 5643.
  3. Если зачеркнута третья цифра: 54x3. Сумма цифр 5+4+x+3 = x+12. Если x=6, то 6+12=18 (делится на 9). Число было 5463.
  4. Если зачеркнута четвертая цифра: 543x. Сумма цифр 5+4+3+x = x+12. Если x=6, то 6+12=18 (делится на 9). Число было 5436.

Проверка:

Теперь проверим, какое из этих четырёхзначных чисел, после вычитания суммы его цифр, даст одно из полученных нами четырёхзначных чисел.

  • Случай 1: Число было 6543.
    Сумма цифр: 6+5+4+3 = 18.
    6543 - 18 = 6525. Если зачеркнуть 2, получится 655. Не подходит.
  • Случай 2: Число было 5643.
    Сумма цифр: 5+6+4+3 = 18.
    5643 - 18 = 5625. Если зачеркнуть 2, получится 565. Не подходит.
  • Случай 3: Число было 5463.
    Сумма цифр: 5+4+6+3 = 18.
    5463 - 18 = 5445. Если зачеркнуть первую 4, получится 545. Не подходит. Если зачеркнуть вторую 4, получится 545. Не подходит.
  • Случай 4: Число было 5436.
    Сумма цифр: 5+4+3+6 = 18.
    5436 - 18 = 5418. Если зачеркнуть 1, получится 548. Не подходит.

Возвращаемся к свойству делимости на 9.

Исходное четырёхзначное число N. Сумма его цифр S. Полученное число N-S. Это число делится на 9.

Маша зачеркнула цифру в числе N-S и получила 543.

Пусть исходное число, полученное после вычитания, было ABCD. Зачеркнули одну цифру, получили 543.

Возможные варианты ABCD:

  • 6543 (если зачеркнули 6). 6543 / 9 = 727.
  • 5643 (если зачеркнули 6). 5643 / 9 = 627.
  • 5463 (если зачеркнули 6). 5463 / 9 = 607.
  • 5436 (если зачеркнули 6). 5436 / 9 = 604.

Теперь нужно проверить, какое из этих чисел (6543, 5643, 5463, 5436) может быть получено вычитанием суммы цифр из четырёхзначного числа.

Пробуем число 5436.

Пусть загаданное число было X. Сумма его цифр S. X - S = 5436.

Так как X - S делится на 9, то X - S = 5436, а X - S = 5436 + 9k (где k - целое число).

Если X - S = 5436, то X = 5436 + S. Так как X - четырёхзначное, S - сумма цифр, то S может быть от 1 (для 1000) до 36 (для 9999).

Максимально возможное значение X - S будет, когда S минимально. Если X = 1000, S = 1, X - S = 999. Это трёхзначное число.

Если X = 1008, S = 9, X - S = 999.

Если X = 1017, S = 9, X - S = 1008.

Если X = 1026, S = 9, X - S = 1017.

Значит, число X-S должно быть четырёхзначным. Маша получила 543, зачеркнув одну цифру.

Рассмотрим возможные числа, которые могли стать 543 после зачеркивания:

  1. 6543 (зачеркнута 6). 6+5+4+3=18. 6543 / 9 = 727.
  2. 5643 (зачеркнута 6). 5+6+4+3=18. 5643 / 9 = 627.
  3. 5463 (зачеркнута 6). 5+4+6+3=18. 5463 / 9 = 607.
  4. 5436 (зачеркнута 6). 5+4+3+6=18. 5436 / 9 = 604.

Теперь проверим, какое из этих чисел (6543, 5643, 5463, 5436) является результатом вычитания суммы цифр из четырёхзначного числа.

Пусть загаданное число - N. Тогда N - (сумма цифр N) = M, где M - число, из которого зачеркнули цифру. M делится на 9.

Если M = 5436, тогда N - (сумма цифр N) = 5436. N = 5436 + (сумма цифр N).

Попробуем подобрать N. Пусть N = 5436 + S. S - сумма цифр N.

Например, если N = 5436 + 18 = 5454. Сумма цифр 5+4+5+4 = 18. Подходит. Тогда M = 5454 - 18 = 5436. Если из 5436 зачеркнуть 6, получится 543. Верно.

Итак, число, которое получилось после вычитания суммы цифр, было 5436. Из него зачеркнули цифру 6, чтобы получить 543.

Ответ: 6