9. Маша загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр. у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 543. Какую цифру зачеркнула Маша? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть загаданное четырёхзначное число будет $$N$$. Сумма его цифр — $$S$$. Разность $$N - S$$ всегда делится на 9. Полученное число 543 после зачеркивания одной цифры является результатом. Это означает, что исходное число $$N-S$$ должно быть близко к 543 и делиться на 9.

1. Проверим делимость 543 на 9: Сумма цифр $$5+4+3 = 12$$. 12 не делится на 9, значит, зачеркнутая цифра не была 0, 3, 6, 9.
2. Рассмотрим возможные числа, полученные до зачеркивания: Число, полученное после зачеркивания цифры, — 543. Значит, исходное число могло быть:
   • 543X (где X — зачеркнутая цифра)
   • 54X3 (где X — зачеркнутая цифра)
   • 5X43 (где X — зачеркнутая цифра)
   • X543 (где X — зачеркнутая цифра)
3. Проверим делимость на 9 для каждого случая, подставляя возможные цифры (0-9):
   • Если число 543X: Сумма цифр $$5+4+3+X = 12+X$$. Чтобы делилось на 9, $$12+X$$ должно быть равно 18. Тогда $$X = 6$$. Исходное число $$5436$$. Сумма цифр $$5+4+3+6 = 18$$. $$5436 - 18 = 5418$$. Зачеркнув 1, получаем 548 (не 543). Зачеркнув 8, получаем 541 (не 543).
   • Если число 54X3: Сумма цифр $$5+4+X+3 = 12+X$$. Чтобы делилось на 9, $$12+X$$ должно быть равно 18. Тогда $$X = 6$$. Исходное число $$5463$$. Сумма цифр $$5+4+6+3 = 18$$. $$5463 - 18 = 5445$$. Зачеркнув первую 4, получаем 545 (не 543). Зачеркнув вторую 4, получаем 545 (не 543).
   • Если число 5X43: Сумма цифр $$5+X+4+3 = 12+X$$. Чтобы делилось на 9, $$12+X$$ должно быть равно 18. Тогда $$X = 6$$. Исходное число $$5643$$. Сумма цифр $$5+6+4+3 = 18$$. $$5643 - 18 = 5625$$. Зачеркнув 6, получаем 525 (не 543). Зачеркнув 2, получаем 565 (не 543).
   • Если число X543: Сумма цифр $$X+5+4+3 = X+12$$. Чтобы делилось на 9, $$X+12$$ должно быть равно 18. Тогда $$X = 6$$. Исходное число $$6543$$. Сумма цифр $$6+5+4+3 = 18$$. $$6543 - 18 = 6525$$. Зачеркнув 2, получаем 655 (не 543).

   Пересмотрим условие: $$N - S = 543$$ (с зачеркнутой цифрой). Число $$N-S$$ делится на 9. Значит, исходное число $$N-S$$ должно делиться на 9, и после удаления одной цифры результат должен быть 543.

   Возможные числа, которые делятся на 9 и при удалении одной цифры дают 543:

   • Если зачеркнута цифра, которая была на месте десятков тысяч: $$X543$$. Если $$X=6$$, то $$6543$$. $$6543 - (6+5+4+3) = 6543 - 18 = 6525$$. Не подходит.
   • Если зачеркнута цифра, которая была на месте тысяч: $$5X43$$. Если $$X=6$$, то $$5643$$. $$5643 - (5+6+4+3) = 5643 - 18 = 5625$$. Не подходит.
   • Если зачеркнута цифра, которая была на месте сотен: $$54X3$$. Если $$X=6$$, то $$5463$$. $$5463 - (5+4+6+3) = 5463 - 18 = 5445$$. Не подходит.
   • Если зачеркнута цифра, которая была на месте десятков: $$543X$$. Если $$X=6$$, то $$5436$$. $$5436 - (5+4+3+6) = 5436 - 18 = 5418$$. Не подходит.

   Рассмотрим числа, которые делятся на 9 и близкие к 543.

   Число, которое получилось после вычитания суммы цифр, должно делиться на 9. Если зачеркнутая цифра была, например, 'a', то исходное число было $$543a$$ или $$54a3$$ или $$5a43$$ или $$a543$$. И это число должно делиться на 9.

   Пусть исходное число $$N-S = Y$$. $$Y$$ делится на 9.

   Если зачеркнутая цифра - 6, то исходное число могло быть 5436. Сумма цифр $$5+4+3+6=18$$. $$5436 - 18 = 5418$$. Это число делится на 9. Но если зачеркнуть 6 из 5436, то получим 543. Это не верно.

   Смысл задачи: Маша загадала число $$N$$. Вычислила $$Y = N - S$$. Потом зачеркнула цифру в $$Y$$ и получила 543. Следовательно, $$Y$$ должно быть числом, которое делится на 9, и при зачеркивании одной цифры из него получается 543.

   Возможные значения $$Y$$:

   • Если зачеркнута цифра в разряде единиц: $$5430$$ (сумма цифр $$5+4+3+0=12$$, не делится на 9), $$5439$$ (сумма цифр $$5+4+3+9=21$$, не делится на 9).
   • Если зачеркнута цифра в разряде десятков: $$5463$$ (сумма цифр $$5+4+6+3=18$$, делится на 9). $$5463 - 18 = 5445$$. Не подходит. $$5403$$ (сумма $$5+4+0+3=12$$, не делится).
   • Если зачеркнута цифра в разряде сотен: $$5743$$ (сумма $$5+7+4+3=19$$, не делится). $$5343$$ (сумма $$5+3+4+3=15$$, не делится).
   • Если зачеркнута цифра в разряде тысяч: $$6543$$ (сумма $$6+5+4+3=18$$, делится на 9). $$6543 - 18 = 6525$$. Не подходит.

   Вернемся к условию: $$N-S$$ делится на 9. Полученное число 543. Это значит, что $$Y$$ было числом, которое после удаления одной цифры стало 543. $$Y$$ делится на 9.

   Перечислим числа, которые делятся на 9 и при удалении цифры дают 543:

   • Если добавим 0: 5430 (не делится на 9).
   • Если добавим 1: 5431 (не делится), 5413 (не делится), 5143 (не делится), 1543 (не делится).
   • Если добавим 2: 5432 (не делится), 5423 (не делится), 5243 (не делится), 2543 (не делится).
   • Если добавим 3: 5433 (не делится), 5433 (не делится), 5343 (не делится), 3543 (не делится).
   • Если добавим 4: 5434 (не делится), 5443 (не делится), 5443 (не делится), 4543 (не делится).
   • Если добавим 5: 5435 (не делится), 5453 (не делится), 5543 (не делится), 5543 (не делится).
   • Если добавим 6: 5436 (делится на 9, $$5+4+3+6=18$$). $$5436 - (5+4+3+6) = 5436 - 18 = 5418$$.
   • Если добавим 6, то число 5436. Если из него вычесть сумму цифр (18), получим 5418.
   • Давайте предположим, что зачеркнутая цифра была 6. Тогда исходное число было 5436.
   • Сумма цифр числа 5436 равна 5+4+3+6 = 18.
   • Разность: 5436 - 18 = 5418.
   • Если из 5418 зачеркнуть цифру 1, то получится 548. Не подходит.

   Есть важное свойство: Число $$N$$ и сумма его цифр $$S$$ дают одинаковый остаток при делении на 9. Поэтому $$N-S$$ всегда делится на 9.

   Пусть число, полученное после вычитания суммы цифр, равно $$Y$$. $$Y$$ делится на 9.

   Число $$Y$$ после зачеркивания одной цифры стало 543.

   Возможные значения $$Y$$:

   • $$5430$$ (сумма цифр $$12$$, не делится на 9)
   • $$5431$$ (сумма цифр $$13$$, не делится на 9)
   • $$5432$$ (сумма цифр $$14$$, не делится на 9)
   • $$5433$$ (сумма цифр $$15$$, не делится на 9)
   • $$5434$$ (сумма цифр $$16$$, не делится на 9)
   • $$5435$$ (сумма цифр $$17$$, не делится на 9)
   • $$5436$$ (сумма цифр $$18$$, делится на 9). Если $$Y=5436$$, то $$N-S=5436$$.
   • $$5437$$ (сумма цифр $$19$$, не делится на 9)
   • $$5438$$ (сумма цифр $$20$$, не делится на 9)
   • $$5439$$ (сумма цифр $$21$$, не делится на 9)

   Теперь проверим, если $$Y=5436$$.

   Если из 5436 зачеркнуть цифру 6, получится 543. Это подходит!

   Значит, $$N-S = 5436$$.

   Теперь нужно найти такое $$N$$, чтобы $$N - S = 5436$$.

   Пусть $$N = abc d$$. $$S = a+b+c+d$$.

   $$1000a + 100b + 10c + d - (a+b+c+d) = 5436$$

   $$999a + 99b + 9c = 5436$$

   Делим на 9: $$111a + 11b + c = 604$$.

   Подберем $$a, b, c$$ (цифры от 0 до 9, $$a eq 0$$):

   • Если $$a=5$$, то $$111 imes 5 = 555$$. $$11b + c = 604 - 555 = 49$$.
   • Если $$b=4$$, то $$11 imes 4 = 44$$. $$c = 49 - 44 = 5$$.

   Значит, $$a=5, b=4, c=5$$.

   $$N = 545d$$. $$S = 5+4+5+d = 14+d$$.

   $$N - S = 545d - (14+d) = 5436$$.

   $$5450 + d - 14 - d = 5436$$

   $$5436 = 5436$$.

   Таким образом, загаданное число $$N$$ могло быть, например, 5450, 5451, ..., 5459.

   Проверим для $$N=5450$$: $$S=5+4+5+0=14$$. $$N-S = 5450-14 = 5436$$. Зачеркиваем 6, получаем 543.

   Проверим для $$N=5456$$: $$S=5+4+5+6=20$$. $$N-S = 5456-20 = 5436$$. Зачеркиваем 6, получаем 543.

   Цифра, которую зачеркнула Маша, — это 6.

   Ответ: 6