9. На продолжении стороны AB равнобедренного треугольника ABC с основанием AC отметили точку D так, что AD = AC и точка A находится между точками B и D. Найдите величину угла ADC если угол ABC равен 32.

Решение:

1. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC:
• Это означает, что углы при основании равны: $$∠ BAC = ∠ BCA$$.
• $$∠ ABC = 32^\circ$$.
• Сумма углов в треугольнике равна $$180^\circ$$.
• $$∠ BAC + ∠ BCA + ∠ ABC = 180^\circ$$.
• $$2 ∠ BAC + 32^\circ = 180^\circ$$.
• $$2 ∠ BAC = 180^\circ - 32^\circ = 148^\circ$$.
• $$∠ BAC = 148^\circ / 2 = 74^\circ$$.
• Значит, $$∠ BCA = 74^\circ$$.
2. Рассмотрим точки B, A, D на одной прямой:
• Точка A находится между B и D.
• $$∠ CAD$$ и $$∠ BAC$$ являются смежными углами, если бы C лежала на прямой BD, но она не лежит.
• $$∠ BAC$$ и $$∠ CAD$$ являются частями развернутого угла, если бы B, A, D были на одной прямой, а C - другая точка.
• $$∠ BAD$$ - развернутый угол $$180^\circ$$, если B, A, D лежат на одной прямой.
• Угол $$∠ CAD$$ смежный с $$∠ BAC$$ на прямой, но это не так.
• Угол $$∠ BAC$$ и $$∠ CAD$$ не смежные.
• $$∠ BAC = 74^\circ$$.
• $$∠ CAD$$ - внешний угол для треугольника ABC, но это не так.
• $$∠ BAD$$ - прямая линия, т.е. $$180^\circ$$.
• $$∠ BAC + ∠ CAD = 180^\circ$$ (если C лежит на прямой BD, что не так).
• $$∠ CAD$$ - внешний угол треугольника ABC при вершине A, если D лежит на продолжении BA.
• $$∠ CAD = ∠ ABC + ∠ BCA = 32^\circ + 74^\circ = 106^\circ$$.
• Этот угол $$∠ CAD$$ является внешним углом треугольника ABC.
3. Треугольник ADC:
• $$AD = AC$$ (по условию).
• Значит, треугольник ADC равнобедренный.
• Углы при основании AD равны: $$∠ ADC = ∠ ACD$$.
• Найдем $$∠ CAD$$. Угол $$∠ BAD$$ является развернутым ($$180^\circ$$), так как A лежит между B и D.
• $$∠ CAD = 180^\circ - ∠ BAC = 180^\circ - 74^\circ = 106^\circ$$.
• В треугольнике ADC: $$∠ ADC + ∠ ACD + ∠ CAD = 180^\circ$$.
• $$2 ∠ ADC + 106^\circ = 180^\circ$$.
• $$2 ∠ ADC = 180^\circ - 106^\circ = 74^\circ$$.
• $$∠ ADC = 74^\circ / 2 = 37^\circ$$.

Ответ: 37