5. В классе 22 учащихся. 8 из них после школы ходят в кружок по лепке, а 12 человек посещают изостудию. Выберите верные утверждения и запишите в ответе их номера.

Краткое пояснение:

Чтобы определить верные утверждения, нам нужно рассчитать количество учеников, которые посещают кружок по лепке, изостудию, оба занятия, и ни одно из них.

Пошаговое решение:

1. Общее количество учащихся: 22
2. Посещают кружок по лепке: 8
3. Посещают изостудию: 12
4. Учащихся, которые не ходят ни в кружок по лепке, ни в изостудию: Общее количество - (только кружок + только изостудия + оба).
5. Учащихся, которые посещают только кружок по лепке: 8 - (те, кто ходит и туда, и туда).
6. Учащихся, которые посещают только изостудию: 12 - (те, кто ходит и туда, и туда).
7. Учащихся, которые посещают оба занятия: Пусть X - количество посещающих оба занятия. Тогда: (8 - X) + (12 - X) + X = 22 - (те, кто не посещает ничего).
8. Составим уравнение, учитывая, что все 22 ученика либо ходят на кружок, либо на изостудию, либо на оба: 8 + 12 - X = 22 (где X - те, кто ходит на оба).
9. 8 + 12 - X = 22
10. 20 - X = 22
11. X = 20 - 22 = -2. Это некорректно, значит, есть ученики, которые не посещают ни одно из занятий.
12. Пусть A - множество учеников, посещающих кружок по лепке, B - множество учеников, посещающих изостудию. |A| = 8, |B| = 12, |A U B| ≤ 22.
13. |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|.
14. Минимальное количество учеников, посещающих оба занятия: Если бы все 22 ученика посещали хотя бы одно занятие, то |A ∪ B| = 22. Тогда 22 = 8 + 12 - |A ∩ B|, откуда |A ∩ B| = 20 - 22 = -2. Это невозможно.
15. Максимальное количество учеников, посещающих оба занятия, равно меньшему из множеств, т.е. 8.
16. Минимальное количество учеников, посещающих оба занятия: 0 (если множества не пересекаются).
17. Рассмотрим крайний случай: Если бы все, кто ходит на лепку (8), также ходили на изостудию. Тогда 8 ходят на лепку, 12 на изостудию, из них 8 ходят и на лепку. Тогда тех, кто ходит только на изостудию: 12 - 8 = 4. Общее количество: 8 (оба) + 4 (только изо) = 12. Остается 22 - 12 = 10 учеников, которые не ходят никуда.
18. Рассмотрим другой случай: Пусть X учеников посещают оба занятия. Тогда:
19. Учеников, посещающих только лепку: 8 - X
20. Учеников, посещающих только изостудию: 12 - X
21. Учеников, посещающих оба: X
22. Учеников, не посещающих ничего: 22 - (8 - X + 12 - X + X) = 22 - (20 - X) = 2 + X.
23. Утверждение 1: Найдётся 2 учащихся, которые не ходят в кружок по лепке и не посещают изостудию.
24. Из формулы 2 + X, мы видим, что минимальное значение (при X=0) равно 2. Значит, это утверждение верно.
25. Утверждение 2: Каждый учащийся, который посещает изостудию, ходит в кружок по лепке.
26. Это означает, что все 12 учеников, посещающих изостудию, также посещают кружок по лепке. Это возможно только если 12 <= 8, что неверно. Следовательно, это утверждение неверно.
27. Утверждение 3: Найдётся 10 учащихся, которые и посещают изостудию, и ходят в кружок лепие.
28. Это означает, что |A ∩ B| = 10. Тогда число посещающих только лепку = 8 - 10 = -2, что невозможно. Значит, это утверждение неверно.
29. Утверждение 4: Меньше 9 учащихся и ходят в кружок по лепке, и посещают изостудию.
30. Это означает, что |A ∩ B| < 9. Мы знаем, что |A ∩ B| = X, и X >= 0. Также, 8 - X >= 0 => X <= 8. И 12 - X >= 0 => X <= 12. Следовательно, 0 <= X <= 8. Любое значение X в этом диапазоне удовлетворяет условию X < 9. Значит, это утверждение верно.

Ответ: 1, 4