9. Найдите длину высоты равностороннего треугольника, если его сторона равна \(7\sqrt{3}\).

Задание 9

Дано: равносторонний треугольник со стороной \(a = 7\sqrt{3}\).

Найти: высоту \(h\).

Решение:

1. В равностороннем треугольнике высота является также медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный стороной, высотой и половиной основания. Гипотенуза этого треугольника равна стороне равностороннего треугольника \(a\), один катет — это высота \(h\), а другой катет — половина основания \(\frac{a}{2}\).
3. По теореме Пифагора: \( a^2 = h^2 + (\frac{a}{2})^2 \).
4. Выразим высоту: \( h^2 = a^2 - (\frac{a}{2})^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2 - a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \).
5. Отсюда: \( h = \sqrt{\frac{3a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \).
6. Теперь подставим значение стороны \(a = 7\sqrt{3}\): \( h = \frac{(7\sqrt{3})\sqrt{3}}{2} \).
7. Умножим: \( h = \frac{7 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3})}{2} = \frac{7 \cdot 3}{2} = \frac{21}{2} \).
8. Переведем в десятичную дробь: \( \frac{21}{2} = 10,5 \).

Ответ: 10,5