9. Найдите корень уравнения (x + 3)² = (x + 8)². Ответ:

Задание 9

Нам нужно найти корень уравнения:

\[ (x + 3)^2 = (x + 8)^2 \]

Решение:

Существует два способа решить это уравнение.

Способ 1: Раскрытие скобок.

1. Раскроем скобки с обеих сторон уравнения:
2. \[ x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 8 + 8^2 \]
3. \[ x^2 + 6x + 9 = x^2 + 16x + 64 \]
4. Вычтем \( x^2 \) из обеих частей уравнения:
5. \[ 6x + 9 = 16x + 64 \]
6. Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:
7. \[ 6x - 16x = 64 - 9 \]
8. \[ -10x = 55 \]
9. Разделим обе части на -10:
10. \[ x = \frac{55}{-10} = -5.5 \]

Способ 2: Использование разности квадратов.

1. Перенесём всё в одну часть:
2. \[ (x + 3)^2 - (x + 8)^2 = 0 \]
3. Используем формулу разности квадратов \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), где \( a = (x + 3) \) и \( b = (x + 8) \):
4. \[ ((x + 3) - (x + 8))((x + 3) + (x + 8)) = 0 \]
5. Упростим выражения в скобках:
6. \[ (x + 3 - x - 8)(x + 3 + x + 8) = 0 \]
7. \[ (-5)(2x + 11) = 0 \]
8. Теперь приравняем второй множитель к нулю, так как первый множитель (-5) не равен нулю:
9. \[ 2x + 11 = 0 \]
10. \[ 2x = -11 \]
11. \[ x = \frac{-11}{2} = -5.5 \]

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: -5.5.