9. Площади двух граней прямоугольного параллелепипеда относятся как 3:5, а диагонали боковых граней равны 10 см и 2√41см. Найти длины рёбер параллелепипеда.

Решение:

Пусть стороны основания параллелепипеда равны \( a \) и \( b \), а высота равна \( h \). Площади двух граней относятся как 3:5. Это могут быть:

1. Площадь грани с рёбрами \( a \) и \( h \) и площадь грани с рёбрами \( b \) и \( h \). То есть \( ah : bh = a:b = 3:5 \).
2. Площадь грани с рёбрами \( a \) и \( b \) и площадь грани с рёбрами \( a \) и \( h \). То есть \( ab : ah = b:h = 3:5 \).
3. Площадь грани с рёбрами \( a \) и \( b \) и площадь грани с рёбрами \( b \) и \( h \). То есть \( ab : bh = a:h = 3:5 \).

Диагонали боковых граней равны 10 см и \( 2\sqrt{41} \) см. Диагонали боковых граней — это диагонали граней с рёбрами \( a \) и \( h \), и \( b \) и \( h \).

\( d_1^2 = a^2 + h^2 = 10^2 = 100 \) (1)

\( d_2^2 = b^2 + h^2 = (2\sqrt{41})^2 = 4 \cdot 41 = 164 \) (2)

Из (1) и (2) следует, что \( b^2 > a^2 \), значит \( b > a \). Следовательно, отношение площадей \( a:b \) должно быть \( 3:5 \) (вариант 1).

\( a/b = 3/5 \implies b = 5a/3 \).

Подставим \( b = 5a/3 \) в уравнение (2):

\( (5a/3)^2 + h^2 = 164 \)

\( 25a^2/9 + h^2 = 164 \) (3)

Из уравнения (1) выразим \( h^2 = 100 - a^2 \) и подставим в уравнение (3):

\( 25a^2/9 + (100 - a^2) = 164 \)

\( 25a^2/9 - a^2 = 164 - 100 \)

\( (25/9 - 1)a^2 = 64 \)

\( (16/9)a^2 = 64 \)

\( a^2 = 64 \cdot 9 / 16 = 4 \cdot 9 = 36 \)

\( a = 6 \) см.

Теперь найдём \( b \):

\( b = 5a/3 = 5
\cdot 6 / 3 = 5
\cdot 2 = 10 \) см.

Найдём \( h \) из \( h^2 = 100 - a^2 \):

\( h^2 = 100 - 6^2 = 100 - 36 = 64 \)

\( h = 8 \) см.

Длины рёбер параллелепипеда: \( a=6 \) см, \( b=10 \) см, \( h=8 \) см.

Ответ: 6 см, 10 см, 8 см.