9. По данным рисунка найдите градусную меру дуги Х.

Решение:

Вписанный угол, опирающийся на дугу, равен половине градусной меры этой дуги. Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

На рисунке изображен угол \( 120^{\circ} \), который является центральным углом, опирающимся на дугу, соответствующую \( X \). Следовательно, градусная мера дуги, на которую опирается этот угол, равна \( 120^{\circ} \).

Угол \( 30^{\circ} \) является вписанным углом. Он опирается на дугу, смежную с дугой \( X \). Градусная мера этой дуги равна \( 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Полная окружность равна \( 360^{\circ} \). Дуга \( X \) и дуга, на которую опирается угол \( 30^{\circ} \), составляют полную окружность. Однако, судя по рисунку, угол \( 120^{\circ} \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( X \), а угол \( 30^{\circ} \) является вписанным углом, опирающимся на ту же дугу. Это противоречие.

Предположим, что \( 120^{\circ} \) — это угол, смежный с центральным углом, опирающимся на дугу \( X \). Тогда центральный угол равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \). Тогда дуга \( X \) равна \( 60^{\circ} \). Вписанный угол \( 30^{\circ} \) опирается на дугу \( 60^{\circ} \), что соответствует \( 60^{\circ}/2 = 30^{\circ} \). Таким образом, \( X = 60^{\circ} \).

Альтернативное предположение: \( 120^{\circ} \) — это развёрнутый угол, и \( X \) — это одна из дуг, на которые он делит окружность, а \( 30^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на другую дугу. Но это не соответствует рисунку.

Предположим, что \( 120^{\circ} \) — это центральный угол, опирающийся на дугу, которая не является \( X \). И \( 30^{\circ} \) — вписанный угол, опирающийся на дугу \( X \). Тогда \( X = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Если \( 120^{\circ} \) — это внешний угол, то внутренняя дуга равна \( 360 - 120 = 240 \). Этот случай не подходит.

Наиболее вероятное толкование рисунка: \( 120^{\circ} \) — это угол, смежный с центральным углом. То есть центральный угол, опирающийся на дугу \( X \), равен \( 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \). Тогда \( X = 60^{\circ} \). Вписанный угол \( 30^{\circ} \) также опирается на дугу \( X \), что подтверждает \( X = 60^{\circ} \).

Ответ: C. 180°