9. Постройте график квадратичной функции и опишите ее свойства: \( y = (x - 2)(x + 4) \).

Решение:

Сначала раскроем скобки, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

\[ y = (x - 2)(x + 4) = x^2 + 4x - 2x - 8 = x^2 + 2x - 8 \]"

Свойства квадратичной функции \( y = x^2 + 2x - 8 \):

1. Ветви параболы: Коэффициент при \( x^2 \) равен 1 (больше 0), значит, ветви параболы направлены вверх.
2. Вершина параболы: Координата \( x_0 \) вершины находится по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \). Здесь \( a = 1, b = 2 \).
\[ x_0 = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1 \]"

Подставим \( x_0 = -1 \) в уравнение функции, чтобы найти \( y_0 \):

\[ y_0 = (-1)^2 + 2(-1) - 8 = 1 - 2 - 8 = -9 \]"

Вершина параболы находится в точке \( (-1, -9) \).

3. Нули функции (точки пересечения с осью Ox): Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 8 = 0 \).
\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 (-8)}}{2 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]\[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]\[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \]"

Нули функции: \( x = -4 \) и \( x = 2 \).

4. Точка пересечения с осью Oy: При \( x = 0 \), \( y = (0 - 2)(0 + 4) = (-2)(4) = -8 \). Точка пересечения с осью Oy: \( (0, -8) \).

График функции:

Ответ: График — парабола с вершиной в точке \( (-1, -9) \), ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках \( (-4, 0) \) и \( (2, 0) \), и ось Oy в точке \( (0, -8) \).