9. Пусть a>0, b<0. Доказать, что: 1) a-b>0; 3) a²b+b³ <0;

Решение:

Дано: \( a > 0 \), \( b < 0 \).

1) Докажем, что \( a - b > 0 \):

Так как \( b < 0 \), то \( -b > 0 \). Следовательно, \( a - b = a + (-b) \) является суммой двух положительных чисел, что всегда положительно. Значит, \( a - b > 0 \).

3) Докажем, что \( a^2b + b^3 < 0 \):

Вынесем общий множитель \( b \) за скобки: \( a^2b + b^3 = b(a^2 + b^2) \).

Известно, что \( a^2 ≥ 0 \) и \( b^2 ≥ 0 \). Так как \( a \) и \( b \) не равны нулю одновременно ( \( a > 0 \), \( b < 0 \) ), то \( a^2 > 0 \) и \( b^2 > 0 \). Следовательно, \( a^2 + b^2 > 0 \).

Так как \( b < 0 \) (отрицательное число) и \( a^2 + b^2 > 0 \) (положительное число), то их произведение \( b(a^2 + b^2) \) будет отрицательным.

Значит, \( a^2b + b^3 < 0 \).

Ответ: Доказано.