9. Пусть a>0, b<0. Доказать, что: 2) b-a<0; 4) ab³ + a³b <0.

Решение:

Дано: \( a > 0 \), \( b < 0 \).

2) Докажем, что \( b - a < 0 \):

Так как \( a > 0 \), то \( -a < 0 \). Следовательно, \( b - a = b + (-a) \) является суммой двух отрицательных чисел, что всегда отрицательно. Значит, \( b - a < 0 \).

4) Докажем, что \( ab^3 + a^3b < 0 \):

Вынесем общий множитель \( ab \) за скобки: \( ab^3 + a^3b = ab(b^2 + a^2) \).

Мы знаем, что \( a > 0 \) и \( b < 0 \). Следовательно, произведение \( ab \) будет отрицательным.

Также известно, что \( a^2 > 0 \) и \( b^2 > 0 \). Следовательно, сумма \( a^2 + b^2 \) будет положительной.

Так как \( ab < 0 \) (отрицательное число) и \( a^2 + b^2 > 0 \) (положительное число), то их произведение \( ab(a^2 + b^2) \) будет отрицательным.

Значит, \( ab^3 + a^3b < 0 \).

Ответ: Доказано.