9. Решите систему уравнений \(\begin{cases} |x+|y|| = 3, \\ |3|y|-x| = 1 \end{cases}\)

Решение:

Система уравнений:

\(\begin{cases} |x+|y|| = 3 \\ |3|y|-x| = 1 \end{cases}\)

Из первого уравнения следует, что \( x+|y| = 3 \) или \( x+|y| = -3 \).

Из второго уравнения следует, что \( 3|y|-x = 1 \) или \( 3|y|-x = -1 \).

Рассмотрим четыре случая:

1. \( x+|y|=3 \) и \( 3|y|-x=1 \). Сложим уравнения: \( 4|y|=4 \) \( \Rightarrow \) \( |y|=1 \) \( \Rightarrow \) \( y=1 \) или \( y=-1 \).
• Если \( y=1 \), то \( x+1=3 \) \( \Rightarrow \) \( x=2 \). Проверим второе уравнение: \( |3(1)-2| = |1| = 1 \). Решение \( (2, 1) \).
• Если \( y=-1 \), то \( x+1=3 \) \( \Rightarrow \) \( x=2 \). Проверим второе уравнение: \( |3(1)-2| = |1| = 1 \). Решение \( (2, -1) \).
2. \( x+|y|=3 \) и \( 3|y|-x=-1 \). Сложим уравнения: \( 4|y|=2 \) \( \Rightarrow \) \( |y|=0.5 \) \( \Rightarrow \) \( y=0.5 \) или \( y=-0.5 \).
• Если \( y=0.5 \), то \( x+0.5=3 \) \( \Rightarrow \) \( x=2.5 \). Проверим второе уравнение: \( |3(0.5)-2.5| = |1.5-2.5| = |-1| = 1 \). Решение \( (2.5, 0.5) \).
• Если \( y=-0.5 \), то \( x+0.5=3 \) \( \Rightarrow \) \( x=2.5 \). Проверим второе уравнение: \( |3(0.5)-2.5| = |1.5-2.5| = |-1| = 1 \). Решение \( (2.5, -0.5) \).
3. \( x+|y|=-3 \) и \( 3|y|-x=1 \). Сложим уравнения: \( 4|y|=-2 \) \( \Rightarrow \) \( |y|=-0.5 \). Решений нет.
4. \( x+|y|=-3 \) и \( 3|y|-x=-1 \). Сложим уравнения: \( 4|y|=-4 \) \( \Rightarrow \) \( |y|=-1 \). Решений нет.

Ответ: (2, 1), (2, -1), (2.5, 0.5), (2.5, -0.5).