9. Решите задачу. Два посёлка находятся на одном берегу реки. Катер проходит расстояние между ними по течению за 3 часа, а против течения за 5 часов. Расстояние между посёлками равно 60 км. Найдите скорость течения реки, если катер движется с постоянной собственной скоростью.

Решение:

Обозначим:

• \( v \) — собственная скорость катера (км/ч);
• \( u \) — скорость течения реки (км/ч).

Тогда:

• Скорость катера по течению: \( v + u \) (км/ч).
• Скорость катера против течения: \( v - u \) (км/ч).

Расстояние между посёлками равно 60 км. Используем формулу \( \text{расстояние} = \text{скорость} \times \text{время} \).

По течению:

\[ 60 = (v + u) \times 3 \]

Против течения:

\[ 60 = (v - u) \times 5 \]

Из этих уравнений получим систему:

1. \( v + u = \frac{60}{3} \rightarrow v + u = 20 \)
2. \( v - u = \frac{60}{5} \rightarrow v - u = 12 \)

Теперь решим эту систему методом сложения. Сложим два уравнения:

\[ (v + u) + (v - u) = 20 + 12 \]

\[ 2v = 32 \]

\[ v = \frac{32}{2} = 16 \]

Собственная скорость катера равна 16 км/ч.

Теперь найдём скорость течения \( u \), подставив \( v = 16 \) в первое уравнение:

\[ 16 + u = 20 \]

\[ u = 20 - 16 \]

\[ u = 4 \]

Скорость течения реки равна 4 км/ч.

Ответ: 4 км/ч