9. Сформулируйте и докажите признак параллелограмма.

Признак параллелограмма: если в четырёхугольнике обе пары противоположных сторон попарно равны, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Пусть в четырёхугольнике ABCD выполнено AB = CD и BC = AD. Проведём диагональ AC.

1. Треугольники ABC и CDA равны по трём сторонам: AB = CD, BC = DA, а AC — общая сторона.
2. Из равенства треугольников следует, что ∠BAC = ∠DCA и ∠BCA = ∠DAC.
3. Первое равенство углов означает, что AB ∥ CD, а второе — что BC ∥ AD (равны накрест лежащие углы).
4. Итак, обе пары противоположных сторон четырёхугольника параллельны. По определению это параллелограмм.