№ 9. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины её боковых сторон. Докажите свойство средней линии трапеции: средняя линия трапеции параллельна основаниям трапеции и равна их полусумме.

Пусть в трапеции ABCD основания AD и BC параллельны, а E и F — середины боковых сторон AB и CD соответственно.

1. Проведём через точку E прямую, параллельную основаниям. Она пересечёт диагональ AC в точке K.
2. В треугольнике ABC отрезок EK параллелен BC, а E — середина AB. По теореме о средней линии треугольника точка K является серединой AC, поэтому EK = BC/2.
3. В треугольнике ADC точка K — середина AC, а прямая KF параллельна AD. Следовательно, F — середина CD, а KF = AD/2.
4. Точки E, K и F лежат на одной прямой, параллельной основаниям. Поэтому EF = EK + KF = BC/2 + AD/2 = (AD + BC)/2.

Ответ: средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме: \(EF \parallel AD \parallel BC\), \(EF = \frac{AD+BC}{2}\).