9. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и ∠ACD = 63°. Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.

Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=u\), \(\overrightarrow{AC}=w\), а длину \(AB\) — через \(a\). Тогда \(|u|=a\), \(|w|=2a\). Поскольку \(CD\parallel AB\), угол между \(AC\) и \(AB\) равен \(\angle ACD=63^\circ\).

Из равенства \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\) следует, что \(\overrightarrow{BD}=w-2u\). Для угла \(\theta\) между диагоналями вычислим скалярное и векторное произведения:

\(w\cdot(w-2u)=4a^2(1-\cos63^\circ)\),

\(|w\times(w-2u)|=4a^2\sin63^\circ\).

Следовательно, \(\tan\theta=\dfrac{\sin63^\circ}{1-\cos63^\circ}=\cot31.5^\circ=\tan58.5^\circ\). Скалярное произведение положительно, поэтому угол между диагоналями острый.

Ответ: 58,5°.