9. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 104, HC = 26 и ∠ACB = 75°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.

Так как BH — высота, то BH ⟂ AC, поэтому треугольник BHC прямоугольный.

Из ∠ACB = 75° следует, что ∠BCH = 75°. Тогда ∠CBH = 180° − 90° − 75° = 15°.

Поскольку AC = 104 и HC = 26, получаем AH = 104 − 26 = 78. Точка M — середина AC, поэтому AM = 52 и MH = AH − AM = 26. Значит, MH = HC, а треугольник MHC равнобедренный.

Угол MHC равен 180° − ∠BHC = 90°. Следовательно, углы HMC и MCH равны по (180° − 90°) : 2 = 45°. Так как MA и MC лежат на одной прямой в противоположных направлениях, ∠AMH = 180° − 45° = 135°. В прямоугольном треугольнике BMH имеем ∠MBH = 15°, поэтому ∠BMH = 90° − 15° = 75°.

Луч MH лежит внутри угла AMB, поэтому ∠AMB = ∠AMH + ∠HMB = 135° + 75° = 210° — это рефлексный угол. Обычный угол между лучами MA и MB равен 360° − 210° = 150°.

Ответ: 150°.