9 В треугольнике $$ABC$$ известно, что $$AC = BC$$, $$AB = 20$$, $$\text{tg } A = \frac{\sqrt{5}}{2}$$. Найдите длину стороны $$AC$$.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Треугольник $$ABC$$ равнобедренный с $$AC = BC$$. $$AB = 20$$.
2. Шаг 2: Проведем высоту $$CH$$ из вершины $$C$$ к основанию $$AB$$. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
3. Шаг 3: $$CH$$ делит основание $$AB$$ пополам: $$AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$$.
4. Шаг 4: Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ACH$$. В нем $$\angle AHC = 90^°$$.
5. Шаг 5: Нам известно $$\text{tg } A = \frac{CH}{AH}$$. Подставим известные значения: $$\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{10}$$.
6. Шаг 6: Найдем высоту $$CH$$: $$CH = 10 \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}$$.
7. Шаг 7: Теперь найдем длину $$AC$$ в прямоугольном треугольнике $$ACH$$ по теореме Пифагора: $$AC^2 = AH^2 + CH^2$$.
8. Шаг 8: Подставим значения $$AH=10$$ и $$CH=5\sqrt{5}$$: $$AC^2 = 10^2 + (5\sqrt{5})^2 = 100 + (25 \cdot 5) = 100 + 125 = 225$$.
9. Шаг 9: Извлечем квадратный корень, чтобы найти $$AC$$: $$AC = \sqrt{225} = 15$$.

Ответ: 15