9 В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 5, cos A = 5√61 / 61. Найдите длину стороны BC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, где ∠C = 90°, мы имеем:

• Прилежащий катет к углу A — это AC.
• Противолежащий катет к углу A — это BC.
• Гипотенуза — это AB.

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

• \[ \cos A = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} \]

Нам дано, что ∈A = 5√61 / 61 и AC = 5. Подставим эти значения:

• \[ \frac{5\sqrt{61}}{61} = \frac{5}{AB} \]

Теперь найдем длину гипотенузы AB:

• \[ AB = \frac{5}{\frac{5\sqrt{61}}{61}} = 5 \cdot \frac{61}{5\sqrt{61}} = \frac{61}{\sqrt{61}} = \sqrt{61} \]

Теперь, чтобы найти длину стороны BC, мы можем использовать теорему Пифагора или определение синуса. Найдем сначала sin A:

• \[ \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \]
• \[ \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \]
• \[ \sin^2 A = 1 - \left(\frac{5\sqrt{61}}{61}\right)^2 = 1 - \frac{25 \cdot 61}{61^2} = 1 - \frac{25}{61} = \frac{61 - 25}{61} = \frac{36}{61} \]
• \[ \sin A = \sqrt{\frac{36}{61}} = \frac{6}{\sqrt{61}} = \frac{6\sqrt{61}}{61} \]

Теперь используем определение синуса:

• \[ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{BC}{AB} \]
• \[ \frac{6\sqrt{61}}{61} = \frac{BC}{\sqrt{61}} \]

Найдем длину BC:

• \[ BC = \frac{6\sqrt{61}}{61} \cdot \sqrt{61} = \frac{6 \cdot 61}{61} = 6 \]

Ответ: 6